jueves 3 de enero de 2008

Microtonalismo II: La matematica de los microtonos

En el anterior post veiamos el concepto de escala en occidente y su división racional en 12 partes iguales, forzando los intervalos a trabajar con un ratio permanente de 2^{1/12} veces la frecuencia del anterior intervalo.

Como ejercicio final para el lector, introducimos el calculo de la escala 19-TET, que consiste simplemente en cambiar este ratio a 2^{1/19} y calcular las frecuencias correspondientes usando apcalc:

Si quieres saber la solucion, sigue leyendo...

for (i = 0; i<=19; i++) fprintf (file, "%s %s\n", i, round((261.6 * root(2,19)^i),1))

Lo que se traduce en la tabla de frecuencias:

0 261.6
1 271.3
2 281.4
3 291.9
4 302.7
5 313.9
6 325.6
7 337.7
8 350.3
9 363.3
10 376.8
11 390.8
12 405.3
13 420.3
14 436
15 452.2
16 469
17 486.4
18 504.5
19 523.2

Como se puede observar aquí nos encontramos con nuestra primera escala microtonica, dado que, en definitiva, contiene mas de 12 notas diferentes.

Ahora bien, ¿Como podemos trabajar con esta escala en un pentragrama? es decir, podemos trabajar con notas naturales y alteradas (bemoles \flat y sostenidos \sharp) pero como trabajamos con 'menos de un semitono', bueno, la respuesta es mas o menos obvia dado que existe el concepto tono, y existe el concepto semitono no existirá problema alguno en seguir dividiendo, creando cuartos de tono, octavos de tono, dieciseisavos de tono. etc. Dado que tenemos 12 semitonos, tendremos 24 cuartos, 48 octavos, 96 dieciseisavos..1.

¿Y como denominamos a estas nuevas alteraciones?, bueno, normalmente, manteniendonos en el mundo de los cuartos de tono, nos encontramos con la nota, la nota y cuarto, nota sostenida, y nota y tres cuartos. La notación depende ya de cada teorico y de cada cultura.

Como vemos, la escala 19-TET trabaja en cuartos de tono, pero, no los usa todos en absoluto, dado que hemos acordado trabajar solo con 19 de los 24.

¿Y cuales se usan y cuales no?

Bueno, en el caso de la escala 19-TET, podemos anticipar ya la solución, debido a la maravillosa ayuda del programa scala que os presentaremos más adelante en proximos posts:

equal 19
 
set notation e19
 
show
  0:          1/1           C          unison, perfect prime
  1:         63.158 cents   C#   Dbb
  2:        126.316 cents   Cx   Db
  3:        189.474 cents   D
  4:        252.632 cents   D#   Ebb
  5:        315.789 cents   Dx   Eb
  6:        378.947 cents   E
  7:        442.105 cents   E#   Fb
  8:        505.263 cents   F
  9:        568.421 cents   F#   Gbb
 10:        631.579 cents   Fx   Gb
 11:        694.737 cents   G
 12:        757.895 cents   G#   Abb
 13:        821.053 cents   Gx   Ab
 14:        884.211 cents   A
 15:        947.368 cents   A#   Bbb
 16:       1010.526 cents   Ax   Bb
 17:       1073.684 cents   B
 18:       1136.842 cents   B#   Cb
 19:          2/1           C          octave

En esta notación x corresponde a doble sostenido de tono y bb a doble bemol, como se puede intuir. Además el programa nos calcula dos posibles notas en casi todos los intervalos, asi la nota 1 puede ser C^{\sharp} o D_{\flat\flat} la nota 2 C^x o D_\flat etc.

X:1
T: Escala 19-TET
M:C
K:C
C ^/C D ^D | ^/D E ^E F | ^F ^/F G ^G | ^/G A ^A ^/A | B ^B |


Construyendo escalas reales
Ahora que tenemos una escala 19-TET, volvamos a uno de los temas de nuestro primer post: la necesidad del occidental de medir y cuantificar todo lo que cae en sus manos, no en vano vivimos en una sociedad completamente racionalista, especialmente debido a la influencia de la antigua grecia a lo largo de los siglos. Si lo pensamos ¿Que distingue la escala 19-TET de la 12-TET? una sola cosa, el numero de divisiones, pero sigue siendo una escala igual de perfecta y de artificial. Pero fijemonos en lo positivo, hemos sido capaces de dar un paso mas, y vemos que somos capaces de crear escalas mas alla de lo que la musica occidental suele imponer, nos fijamos en la infinitud de sonidos entre semitono y semitono.En realidad las escalas microtonales reales, las que realmente usan músicos egipcios, persas o turcos por poner un ejemplo no son escalas tan perfectas, las se han ido pasando por tradicion oral de maestro a alumno a lo largo de los siglos y cada pueblo ha creado unos instrumentos a los que ha adaptado sus sonidos y viceversa.

Un metodo de construcción: cents y savarts
Siguiendo con la idea de que en occidente todo lo tenemos que medir, al empezar a trabajar y experimentar con otras musicas, se han creado dos unidades de medida para poder trabajar con microtonos, el cent y el savart.

cents
El {es:Cent} es una unidad de medida que equivale a la centesima parte del semitono temperado (el que se usa en las escalas temperadas ya comentadas) es decir que en una escala 12-TET hay 1200 cent, lo que equivale a convertir el ratio de division de la escala temperada de {\sqrt[12]{2}} en {\sqrt[1200]{2}} \approx 1.0005777895065548593 .Asi tenemos una unidad de medida para apreciar las diferencias entre escalas de una manera matematica.¿Como sabemos cual es la diferencia de frecuencia de una escala en cents? Bueno, dado que en realidad estamos todo el tiempo trabajando con logaritmos en base 2, tenemos que multiplicar por 1200 el logaritmo en base 2 del ratio de las frecuencias, esto es:


\log_2 {\frac{freq b}{freq a}} \ast 1200
Si nuestra calculadora no trabaja con logaritmos en base 2, dadas las propiedades de los logaritmos podemos realizar el siguiente calculo basandonos en los logaritmos normales de base 10:

\frac{\log{\frac{freq b}{freq a}}}{\log{2}} \ast 1200
En el listado anterior podemos ver los cents calculados en la escala 19-TET. Dado que scala ha realizado el calculo por nosotros, no me entretendre en calcularlo desde apcalc.Algo bastante impactante es que algunos estudios muestran que el oido humano puede apreciar diferencias de sonido de 6 cent (Practicamente nada, unos 0,9Hz).

savart
El savart es parecido pero dividiendo la octava en 1000 partes, es decir usando el sistema decimal y logaritmos en base 10, dado que el log 2 \approx 0.30102999566398119521 la octava tiene 301 savart (redondeando).Es decir, resumiendo:

1 octava = 1200 cent = 301 savart
Un ejemplo de la realidad: Escala persa de 17 tonos vs 17-TEThe aqui una manera de ver como se desvía la realidad de las escalas tradicionales de las escalas TET. Vamos a trabajar con la escala persa de 17 tonos recopilada por Hormoz Farhat (un músico y musicologo irani) en mediciones reales segun la afinación de instrumentos tradicionales en diferentes puntos de Iran. Despues de las mediciones, hizo una media y aqui podemos ver los intervalos expresados en cents:

0 90.00000
1 135.00000
2 205.00000
3 295.00000
4 340.00000
5 410.00000
6 500.00000
7 565.00000
8 630.00000
9 700.00000
10 790.00000
11 835.00000
12 905.00000
13 995.00000
14 1040.00000
15 1110.00000
16 1200.00000

Y aqui los valores de una escala 17-TET (podeis generarla desde apcalc con el metodo de siempre):

0 70.588
1 141.176
2 211.765
3 282.353
4 352.941
5 423.529
6 494.118
7 564.706
8 635.294
9 705.882
10 776.471
11 847.059
12 917.647
13 988.235
14 1058.824
15 1129.412
16 1200.000

Aqui podemos verlo graficamente, usando plotdrop:

Tradicional persa vs TET-17

  1. No nos asustemos, las escalas microtonicas del mundo real no suelen bajar de los cuartos de tono exceptuando la musica experimental []

4 Comentarios a “Microtonalismo II: La matematica de los microtonos”

  1. Onbij Gejeld

    Resul­ta muy intere­san­te esto de estar ponien­do uni­da­des de mesu­ra­mien­to para intér­va­los de tonos equa­li­za­dos en la octa­va. Por mi par­te he inven­ta­do 2 uni­da­des de mesu­ra­mien­to para la divi­sión por octa­va: La Riwa y El Gau­ri­lio (o en Inglés: Gau­ri­lium).
    La Riwa es Bási­ca­men­te una cua­dru­pli­ca­ción del Cent, o sea, una octa­va divi­di­da en 4800 uni­da­des de medi­da.
    El Gau­ri­lio o Gau­ri­lium vie­ne sien­do el resul­ta­do de la mul­ti­pli­ca­ción de los dos núme­ros pri­mos más peke­ños en tener los ratios más cer­ca­nos a los intér­va­los jus­tos ke serían el 53 y el 137, o sea 7261 uni­da­des de medi­da por octa­va.
    Los inven­té por­ke sen­tía la nece­si­dad de poder pre­ci­sar bien las divi­sio­nes inter­vá­li­cas. El Savart lo hallo muy chi­co para poder pre­ci­sar bien el núme­ro de un intér­va­lo, pues ten­go ke usar como míni­mo 5 deci­ma­les de apro­xi­ma­ción. El cent no me satis­fa­ce, pues hay ke usar como míni­mo 3 deci­ma­les de apro­xi­ma­ción. Para las Riwas se nece­si­tan míni­mo 2 deci­ma­les de apro­xi­ma­ción. En cam­bio, el Gau­ri­lio sólo ten­go ke usar como míni­mo 1 deci­mal de apro­xi­ma­ción como míni­mo. Halla­rás cier­ta razón en esto, pues a un músi­co ke esté dedi­ca­do a explo­rar nue­vos patro­nes meló­di­cos bus­ca con la mayor pre­ci­sión posi­ble un núme­ro ke otor­ge una pre­ci­sión de Alta Fide­li­dad con res­pec­to a la esca­la ke se desee tra­ba­jar.
    Por lo Tan­to, 1 octa­va= 301 Savart= 1200 Cents= 4800 Riwas= 7261 Gau­ri­liums.

  2. carla

    les dejo una pagi­na don­de hay musi­ca micro­to­nal: microtonalismo.com

  3. carla

    http://microtonalismo.com/musica.html

  4. Ansel Ross

    Hola, exelen­te tra­ba­jo, me ha amplia­do muchi­si­mo mi hori­zon­te musi­cal.
    Aun­que coti­dia­na­men­te me dedi­que a la músi­ca comer­cial, me encan­ta la músi­ca expe­ri­men­tal.
    Gra­cias

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